为什么学校数学需要更多的震惊和敬畏
不可否认，数学上的风景是美丽的，但怪物却潜伏其中。 在我遇到高木大学本科生课程之前，我没有意识到这些恐怖生物的普遍性。 要了解为什么此功能有资格成为怪物，我们需要两个概念： 连续性和可微性 。
非正式地，如果一个函数没有突然中断，则它是连续的。 您可以绘制草图而无需从页面上移开笔（cil）。 继续绘制连续函数。 我敢打赌，它看起来很顺利。 每个点都有切线吗？ 如果是这样，您的功能是有区别的。
Takagi函数之所以令人毛骨悚然，是因为它在任何地方都是连续的（无间断），在任何地方都是可微分的（没有切线的点）。 这样的组合几乎难以想象，但是高木功能却非常真实。
高木函数的形式定义包含无限级数； 我们将直接跳到视觉表示。 让我们为函数指定一个[0,1]的域，这意味着它仅作用于0到1之间的数字。我们可以从锯齿开始迭代构造函数：
那里没有什么可怕的，尽管尖顶并不像人们希望的那样容易。 接下来，我们使用一半高度的双锯齿（红色）并将其添加到上一个函数中（虚线），从而进行第二次迭代（黑色）：
您可能会感觉到前进的方向。 第三次迭代是通过将具有先前高度一半的四尖齿添加到先前函数中来的：
再次进行第四次迭代：
有人大声疾呼：每次迭代，我们的功能都变得更尖锐。 高木敢于将这一过程延续到无穷远，产生了以他的名字命名的功能。 结果：
我们看到函数在前几次迭代中逐渐失去了平滑度。 到该过程结束时，高木函数切线的任何地方都没有剩下- 没有可微分的地方 。 但是，该功能没有突然中断- 到处都是连续的 。
高木函数的存在使我们的数学世界观不安。 之所以选择我们在学校遇到的函数（多项式，三角函数，指数函数），主要是因为它们模拟了现实世界中的现象。 它们都具有两个属性：它们是连续的并且是可微的。
我们瞥见了渐近线出现时可能会出现问题的地方（瞬态变化，例如函数y = 1 / 1-x在y轴上的变化）。 当我们研究模量函数时，锯齿本身会弹出，尽管它只出现在单个点上。 函数在每个点都可能具有这种锯齿状的想法对于学校的数学来说太可悲了。
也许应该是这样-高木函数可能只是一个异常，在课程中没有比可恶的雪人更值得关注的了。 除了……高木函数没有异常值。
想象一下，对[0,1]取每个连续函数-无限取所有-并随机选择一个。 您希望它与众不同吗？ 由于我们研究的大多数功能都是可微的，并且像Takagi函数一样编造一个示例需要花大量的时间，所以一个好的选择是“非常可微的”。 因此，我震惊地得知，绝大多数连续函数在任何地方都是不可区分的。 由于我们正在比较无穷数量，因此“多数”的概念需要仔细定义（从形式上讲 ，到处可微分的函数集构成所有连续函数集的微薄子集。）
打个比方，您在学校遇到的所有功能仅仅是所有连续功能的海洋中的一滴。 海洋充满了高木功能及其类似之处。 按权利甚至不应存在的功能。 现在，您的数学前景如何？
一个更熟悉的例子涉及有理数 。 我们有实数 （标准数字行上的所有实数 ），并且众所周知，有一种称为小数的特殊类型，它由一个整数除以另一个整数（第二个整数不允许为0 ）组成。 有理数只是分数，它们被称为有理数，因为它们有意义。 易于描述和使用。 什么是无理数？ 是否存在不能表示为分数的数字？ 无理数的一个显着后果是它们的十进制扩展会永远持续下去，并且永远不会重复。 毕达哥拉斯和其他人无法容忍这种野兽存在的想法，但是欧几里得通过证明√2的非理性性，使辩论得以搁置。
对于世界上最受尊敬的常数π来说，事情变得更加陌生。 较小类别的无理数的名称，该无理数永远不会作为具有整数系数的多项式的解。 这需要一些读数才能完全掌握，但要点是数字要么是有理数（分数），要么是非理性数（例如√2 ），而其中一些非理性数（例如π）甚至更奇怪。
所有这些关于非理性和先验的言论似乎都是多余的。 分数是唯一重要的数字，不是吗？ 在现实世界中，这可能在一定程度上是正确的。 但是在数学世界中，分数与可微函数的命运相似-几乎看不到它们。 更具体地说，分数可以列举在列表中。 因此，尽管它们无限多，但它们是可数的（最小的无穷大类型）。 康托尔巧妙地证明了实数不能被列举； 他们太多，无法系统列出。 综上所述，这意味着非理性因素比理性因素要多得多，即，非理性因素使实数集太大而无法计算。 一个稍微复杂的论点表明，先验数字也是如此。 因此，如果您随机抽取一个数字，则比整齐地打包的小数更有可能采用π的笨拙形状。
让我们盘点一下：在学校，我们几乎所有的时间都花在研究数学世界中几乎没有的物体上。 记忆π的数字大约是我们掌握无理数的程度，就像模函数仅暗示不可微函数的存在一样。 非理性和不可微函数是数学的暗物质。 它们占据了其大部分景观，但被隐藏起来，在主流教育中基本上被忽略。
数学具有震撼力和敬畏度，可以吸引其专注的学科。 数学家们被奇怪的物体吸引住了。 我的博士学位集中于一类称为无界线性算子的函数-有界函数是连续的，并且不够可怕，无法进行有趣的研究。 另一方面，无限制的操作员四年来却对我无尽的恐惧。 我不知道如果没有他们我该怎么办。
学校的课程不必让学生深入研究以强调数学怪兽的普遍性。 分数（作为算术和其他高级主题的基础）和微分函数（作为对现实世界现象进行建模的基础）支配课程议程是完全可以理解的。 但是，通过使学生免受数学中那些不平滑或有序的部分的影响，我们会对学生造成伤害。 我们正在剖析数学中的一个基本概念-它并非仅仅为了理解现实世界而存在。 数学的最深刻特征之一是，它仅受逻辑和推理的限制，从而产生了一些最惊人的真理，所有学生都应有机会去玩耍（并被吓到）。
如果我们希望学生沉浸在数学世界中，我们必须教会他们拥抱它的怪物。
