欧几里德的几何:矩形的正交

“正交”是确定区域的历史数学过程。 换句话说,它正在构造一个面积等于图形的正方形,例如矩形,三角形或以曲线为边界的圆。

希腊数学家沉迷于对称性,几何形状的结构和视觉美感。 在巧妙的古希腊地理学家手中,指南针和直尺首先变成了直线,角度,平行线和垂直线,然后又变成了美丽的规则多边形。

例如,欧几里得(Euclid)喜欢仅使用指南针和直尺从简单的形状构建复杂的结构。 令人惊讶的是,我们仍然使用他的构造。 他要处理的最具挑战性的问题是平面图形的正交或平方。

让我们做一个例子,从一个矩形开始。

令ABCD为任意的黄色矩形。 我们将仅使用指南针和直尺进行施工。 然后,我们将得到一个正方形,其面积与黄色矩形相同。

  • 首先,我们将AB线向右延伸,得到E点和BE段。 但是,段BE的长度和段BC的长度将相等。 我们可以说BC = BE。 使用指南针和直尺很容易做到这一点。

  • 其次,我们将在中心点F处平分AE。再次使用罗盘和直尺很容易做到这一点。 由于F为中心,因此线段AF和线段FE将成为半圆的半径,并且AF = FE。

  • 最后,在点E处,我们将绘制一条垂直于线段AE的直线,直到点G为垂直线和半圆的交点。 BG段将帮助我们构建新的蓝色正方形,并将成为正方形的一侧。 我们将其称为GHJB。

现在我们可以要求然后证明矩形ABCD的面积和正方形GHJB的面积相等。

证明:

现在,让x,y,z分别为段FG,FK和GK的长度。 由于GK是垂直线,因此FGK是直角三角形。 如果您有一个直角三角形,生命将使我们有机会应用美丽的毕达哥拉斯定理。 它给了我们;

  • x²=y²+z²。 这给了我们
  • z²=x²-y²。

由于FK,AF,FG是半圆的半径,因此FK = BG = HG = x 。 和

  • BE = FE-BE = x-y,并且
  • AB = AF + FB = x + y。

现在我们可以找到这些区域;

矩形ABCD的面积:(高度)X(基数)=(AB)X(BC)

(x + y)•(x-y)=x²-y²

GHJB广场的面积:

z•z =z²,它也等于x²-y²。

因此,矩形的面积和正方形的面积相等。 优质教育

QED通常放在数学证明的末尾,以表明证明是完整的。 它的意思是“ Quod Erat Demonstrandum”。

美丽。 我们已经证明原始的矩形区域等于我们刚刚用指南针和直尺构造的正方形的面积。 这就完成了矩形的正交。